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欧拉运动学方程 编辑
欧拉运动学方程是描述刚体运动的微分方程,在刚体绕定点运动中,反映角速度和欧拉角关系的方程,该方程在刚体绕定点运动的研究中有重要地位。
目录
- 1 基本信息
2 基本介绍
3 方程形式
4 准惯性系中的表达形式
5 相关概念
基本信息
编辑中文名:欧拉运动学方程
别称:Euler运动学方程
属性:描述刚体运动的微分方程
外文名:Euler kinematical equations
所属学科:数理科学
意义:在刚体绕定点运动研究中很重要
基本介绍
编辑假定刚体固结参考系在惯性参考系中有旋转运动,瞬时旋转角速度为,三个分量记为。
本体赤道面与平均赤道面有一个交线,从原点沿上述交线的一方引伸出一个射线,称之为节线,节线与之间的夹角称为进动角,用表示;瞬时轴与之间的夹角称为自转角,用表示;与之间的夹角称为章动角,用表示。自转角、进动角和章动角通称Euler角,是由Euler引进的。三个Euler角可以完全描述任意一个刚体的旋转运动,原因在于:一个点由三个独立坐标描述;一个刚体通常需要不在同一条直线上的三个点(共9个坐标)来描述;将其中的一个点选为原点,则只需要2个点即6个坐标来描述;但3个点之间存在3个距离方程,因而独立的坐标数只有3个;3个Euler角正好构成一组独立坐标。在事先不知道刚体的旋转运动规律的前提下,要想确定这种旋转运动,则需要求解Euler运动学方程和Euler动力学方程。
方程形式
编辑根据三个Euler角的定义不难写出如下关系:
其中表示绕地固质心坐标系轴的旋转角速度。上式便是著名的Euler运动学方程,即欧拉运动学方程。
准惯性系中的表达形式
编辑将旋转角速度在准惯性系中表示出来:
其中表示绕地心准惯性坐标系轴的旋转角速度()。
相关概念
编辑欧拉角
刚体定点运动的自由度为3,如何选择3个变量,使它们既能简单、明确、单值地确定刚体位置,又能独立变化,这对简化定点运动的描述是非常重要的,刚体力学的奠基者欧拉(Leonhard Euler,1707一1783)成功地、巧妙地解决了这个问题,他选择3个角度,即著名的欧拉角(Euler angles)作为描述刚体定点运动的变量,具体选择方法如下:以固定点为原点建立静正坐标系,再以固定点为原点建立与刚体固连的动坐标系如图1。
确定刚体位置等价于确定动坐标的位置,他用两个角度确定z轴的位置,一个是z轴对
确定刚体位置等价于确定动坐标的位置,他用两个角度确定z轴的位置,一个是z轴对图1
轴的倾角角,另一个是用来确定z轴的方位,它是面与平均赤道面面的交线ON与轴的夹角,交线ON称为节线;这两个角确定后,z轴的位置就确定了,但动坐标系还可以绕z轴转动,若动坐标的x轴与节线的夹角确定了,则动坐标的位置完全确定,这样选取的3个角,,称为欧拉角。它们的量度方向如图所示,它们的变化范围分别为:。
这3个角可以独立变化,即这3个变量是独立的,从运动学上,它们之间不存在依赖关系(即函数关系),最能说明其独立性的事实是:当任何一个角自由改变时,其他两个角可以保持不变,如以下三种情况是可能的。
1. 仅角改变,保持,不变。这种运动相应于z轴与轴间夹角不变,z轴在静止空间中沿圆锥面运动,同时角也保持不变,这种运动称为进动(precession),相应的角速度称为进动角速度,它的大小和方向为,为轴的单位矢量。
2. 仅角改变,保持,角不变。刚体的这种运动称为章动(nutation),相应的角速度为章动角速度,它的大小和方向为,为沿节线的单位矢量。
3. 仅角改变,保持,角不变。刚体的这种运动称为自转(rotation),相应的角速度为,称为自转角速度,k为z轴的单位矢量。
当3个角同时变化,三种运动同时存在时,刚体的角速度为3个分角速度的合成。
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