椭圆（Ellipse）是指数学上平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹曲线。

椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。

椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

中文名：椭圆

别称：椭圆形

应用学科：数学

几何类别：圆锥曲线

外文名：ellipse

表达式：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)

适用领域范围：天文学、解析几何学

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。

椭圆在物理，天文和工程方面很常见。

平面内与两定点、的距离的和等于常数（）的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：

其中两定点、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。为椭圆的动点。

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为。

椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为。

可变为。

第二定义

椭圆平面内到定点（c，0）的距离和到定直线：（不在上）的距离之比为常数（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

其中定点为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是（焦点在x轴上），或（焦点在y轴上））。

其他定义

根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为（前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a²/b²=1/（e²-1）），可以得出：

在坐标轴内，动点（）到两定点（）（）的斜率乘积等于常数m（-1<m<0）。

注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1）焦点在X轴时，标准方程为：

2）焦点在Y轴时，标准方程为：

椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

点与椭圆

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是：-b²x0/a²y0，这个可以通过复杂的代数计算得到。

参数方程

x=acosθ ， y=bsinθ。

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解

x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长轴长的一半 b为短轴长的一半

极坐标

（一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上）

（e为椭圆的离心率=c/a）。

1、范围：焦点在轴上，；焦点在轴上，。

2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。

4、离心率：或 e=√（1-b^2/a²）。

5、离心率范围：0<e<1。

6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。

8、与（m为实数）为离心率相同的椭圆。

9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2）≤a+c。

10.椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

切线法线

定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）。

定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。

上述两定理的证明可以查看参考资料。

解析几何法求证椭圆切线定理：

解：设C：（（x^2）/（a^2））+（（y^2）/（b^2））=1-----式1；

（a^2）-（b^2）=（c^2）；

F1（-c，0）；F2（c，0）；P（xp，yp）

AB：（y-yp）=k（x-xp）=>y=kx+（yp-kxp）；令m=yp-kxp=>AB：y=kx+m-----式2；

联立式1和式2消去y得：（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（x^2）+2kmx+（（m^2）-（b^2））=0；

因为直线AB切椭圆C于点P，所以上式只有唯一解，则：

4（（km）^2）-4（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（（m^2）-（b^2））=0=>m^2=（（ak）^2）+（b^2）；

m^2=（yp-kxp）^2=（（yp）^2）+（（kxp）^2）-2kxpyp=（（ak）^2）+（b^2）；

=>（（a^2）-（xp^2））（k^2）+2xpypk+（（b^2）-（yp^2））；

由根的判别式得：4（（xpyp）^2）-4（（a^2）-（xp^2））（（b^2）-（yp^2））=0；

所以k值有唯一解：k=（-2xpyp）/（2（（a^2）-（xp^2）））=-xpyp/（（a^2）-（xp^2））；

由式1得：（a^2）-（xp^2）=（ayp/b）^2=>k=-（xp（b^2））/（yp（a^2））；

m=yp-kxp=（（（ypa）^2）+（（xpb）^2））/（yp（a^2））=（（ab）^2）/（yp（a^2））=（b^2）/yp；

设A0F1、B0F2分别过F1、F2垂直AB于A0、B0；

A0F1：（y-0）=（-1/k）（x+c）=>x+ky+c=0-----式3；

联立式2和式3消去y得：x=-（km+c）/（（k^2）+1）；

联立式2和式3消去x得：y= （m-kc）/（（k^2）+1）；

则：A0：（-（km+c）/（（k^2）+1），（m-kc）/（（k^2）+1））；

|A0F1|^2=（（m-kc）^2）/（（k^2）+1））；

同理：B0F2：（y-0）=（-1/k）（x-c）；

=>B0：（（c-km）/（（k^2）+1），（m+kc）/（（k^2）+1））；

|B0F2|^2=（（m+kc）^2）/（（k^2）+1））；

|PF1|^2=（（xp+c）^2）+（yp^2）；

|PF2|^2=（（xp-c）^2）+（yp^2）；

证明：若∠APF1=∠BPF2，则直角三角形A0PF1与直角三角形B0PF2相似；

=>|A0F1|/|PF1|=|B0F2|/|PF2|

=>（|A0F1|^2）/（|PF1|^2）=（|B0F2|^2）/（|PF2|^2）

=>（|PF2|^2）/（|PF1|^2）=（|B0F2|^2）/（|A0F1|^2）

（（m+kc）^2）/（（m-kc）^2）=（（（xp-c）^2）+（yp^2））/（（（xp+c）^2）+（yp^2））；-----式4

m+kc=（b^2）/yp-（xpc（b^2））/（yp（a^2））=（（a^2）-xpc）（b^2）/（yp（a^2））；-----式5

m-kc=（b^2）/yp+（xpc（b^2））/（yp（a^2））=（（a^2）+xpc）（b^2）/（yp（a^2））；----式6

把式5和式6代入式4得：

（（（a^2）-xpc）^2）/（（（a^2）+xpc）^2）=（（（xp-c）^2）+（yp^2））/（（（xp+c）^2）+（yp^2））；

=>（（（a^2）-xpc）^2）（（（xp+c）^2）+（yp^2））=（（（a^2）+xpc）^2）（（（xp-c）^2）+（yp^2））

=>（（（a^2）-xpc）^2）（（xp+c）^2）+（（（a^2）-xpc）^2）（yp^2）=（（（a^2）+xpc）^2）（（xp-c）^2）+（（（a^2）+xpc）^2）（yp^2）

=>=（yp^2）

=>=4xpc（ayp）^2

=>（2（a^2）xp-2（c^2）xp）（2c（a^2）-2c（xp^2））=4xpc（ayp）^2

=>4xpc（b^2）（（a^2）-（xp^2））=4xpc（ayp）^2

=>（b^2）（（a^2）-（xp^2））=（ayp）^2

=>（ab）^2=（（ayp）^2）+（（bxp）^2）

=>（（xp^2）/（a^2））+（（yp^2）/（b^2））=1等式成立，∠APF1=∠BPF2得证。

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

（其中分别是椭圆的长半轴、短半轴的长），或（其中分别是椭圆的长轴，短轴的长）。

证：的面积，由于图形的对称性可知，只要求出第一象限的面积乘以4即可。

在第一象限， 令

周长

椭圆周长计算公式：L=T（r+R）

T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。

附椭圆系数简表：

椭圆系数简表
r / R	系数	r / R	系数	r / R	系数	r / R	系数
0.01	3.961483495	0.26	3.418920439	0.51	3.224856225	0.76	3.156214217
0.02	3.925332509	0.27	3.40695685	0.52	3.220415735	0.77	3.154868403
0.03	3.891174223	0.28	3.395457698	0.53	3.216154903	0.78	3.153601776
0.04	3.858791647	0.29	3.384403803	0.54	3.212067616	0.79	3.152411903
0.05	3.828024399	0.3	3.373776976	0.55	3.208148	0.8	3.151296432
0.06	3.798743616	0.31	3.363559954	0.56	3.204390411	0.81	3.150253089
0.07	3.770841059	0.32	3.353736335	0.57	3.200789422	0.82	3.149279677
0.08	3.744223265	0.33	3.344290532	0.58	3.197339815	0.83	3.148374067
0.09	3.718808013	0.34	3.335207712	0.59	3.194036571	0.84	3.147534204
0.1	3.694521982	0.35	3.326473758	0.6	3.190874858	0.85	3.146758097
0.11	3.671299121	0.36	3.318075219	0.61	3.187850029	0.86	3.146043822
0.12	3.649079455	0.37	3.309999276	0.62	3.184957608	0.87	3.145389514
0.13	3.627808177	0.38	3.302233702	0.63	3.182193286	0.88	3.144793371
0.14	3.607434941	0.39	3.294766828	0.64	3.179552911	0.89	3.144253646
0.15	3.587913299	0.4	3.287587514	0.65	3.177032484	0.9	3.143768649
0.16	3.569200238	0.41	3.280685115	0.66	3.174628151	0.91	3.143336742
0.17	3.551255799	0.42	3.274049459	0.67	3.172336195	0.92	3.14295634
0.18	3.534042762	0.43	3.267670819	0.68	3.170153034	0.93	3.142625907
0.19	3.517526368	0.44	3.261539886	0.69	3.168075214	0.94	3.142343956
0.2	3.50167409	0.45	3.255647754	0.7	3.166099401	0.95	3.142109044
0.21	3.486455429	0.46	3.249985893	0.71	3.164222379	0.96	3.141919775
0.22	3.471841741	0.47	3.244546132	0.72	3.162441046	0.97	3.141774794
0.23	3.457806077	0.48	3.239320639	0.73	3.160752407	0.98	3.141672788
0.24	3.444323049	0.49	3.234301909	0.74	3.159153568	0.99	3.141612486
0.25	3.43136871	0.5	3.22948274	0.75	3.157641737	1	π
工程运用椭圆系数简表
r / R	系数	r / R	系数	r / R	系数	r / R	系数
1	π	0.4787	3.24	0.2011	3.5	0.0739	3.76
0.9555	3.142	0.4599	3.25	0.1946	3.51	0.0703	3.77
0.9188	3.143	0.4422	3.26	0.1884	3.52	0.0666	3.78
0.8951	3.144	0.4263	3.27	0.1824	3.53	0.0631	3.79
0.8764	3.145	0.4111	3.28	0.1764	3.54	0.0595	3.8
0.8607	3.146	0.3966	3.29	0.1707	3.55	0.0561	3.81
0.8468	3.147	0.3829	3.3	0.1651	3.56	0.0526	3.82
0.8433	3.148	0.3699	3.31	0.1595	3.57	0.0493	3.83
0.8231	3.149	0.3577	3.32	0.1541	3.58	0.0461	3.84
0.8126	3.15	0.3459	3.33	0.1489	3.59	0.0428	3.85
0.7689	3.155	0.3414	3.34	0.1437	3.6	0.0396	3.86
0.7347	3.16	0.3239	3.35	0.1387	3.61	0.0364	3.87
0.7058	3.165	0.3136	3.36	0.1337	3.62	0.0333	3.88
0.6806	3.17	0.3036	3.37	0.1289	3.63	0.0303	3.89
0.6584	3.175	0.2941	3.38	0.1242	3.64	0.0273	3.9
0.6383	3.18	0.2848	3.39	0.1195	3.65	0.0244	3.91
0.6199	3.185	0.2759	3.4	0.1149	3.66	0.0215	3.92
0.6028	3.19	0.2674	3.41	0.1105	3.67	0.0186	3.93
0.5871	3.195	0.2591	3.42	0.1062	3.68	0.0158	3.94
0.5722	3.2	0.2511	3.43	0.1019	3.69	0.0131	3.95
0.5583	3.205	0.2432	3.44	0.0977	3.7	0.0103	3.96
0.5452	3.21	0.2357	3.45	0.0935	3.71	0.0077	3.97
0.5328	3.215	0.2284	3.46	0.0895	3.72	0.0051	3.98
0.5097	3.225	0.2212	3.47	0.0855	3.73	0.0025	3.99
0.4989	3.23	0.2143	3.48	0.0816	3.74	0.0012	3.995
0.4886	3.235	0.2076	3.49	0.0777	3.75	0.0002	3.999

椭圆与三角函数的关系

关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：

半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f（c）=r tanα sin（c/r）。

r：圆柱半径；

α：椭圆所在面与水平面的角度；

c：对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）；

以上为证明简要过程，则椭圆（x*cosα）^2+y^2=r^2的周长与f（c）=r tanα sin（c/r）的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的周长。

离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0<X<1）。

e=c/a（0<e<1），因为2a>2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。

椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c，0）与准线x=±a^2/c） 的距离为a^2/c-c=b^2/c

离心率与的关系：。

焦半径

焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex（F1，F2分别为左右焦点）。

椭圆过右焦点的半径r=a-ex。

过左焦点的半径r=a+ex。

焦点在y轴上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey（F2，F1分别为上下焦点）。

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A，B之间的距离，即|AB|=2*b^2/a。

点M（x0，y0）椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1；

点在圆内：x02/a2+y02/b2<1；

点在圆上：x02/a2+y02/b2=1；

点在圆外：x02/a2+y02/b2>1；

跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。

直线与椭圆

直线与椭圆

y=kx+m ①

x2/a2+y2/b2=1 ②

由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1

相切△=0

相离△<0无交点

相交△>0 可利用弦长公式：设A（x1，y1） B（x2，y2）

求中点坐标

根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a

代入直线方程可求出 （y1+y2）/2=可求出中点坐标。

椭圆

|AB|=d = √（1+k2） = √（1+1/k2）

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

例：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.

1．求椭圆C的方程.

2．直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.

3．在⑵的基础上求△AOB的面积.

一 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等（椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√（a^2-c^2）=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，

二 要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0，y1=1，x2=-1.5，y2=-0.5.利用弦长公式有√（1+k^2））（中括号表示绝对值）弦长=3√2/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2，-2.结合图形得m=-2.x=1.5，y=-0.5，p（1.5，-0.5），

三 直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4，

（1）：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。

（2）：连接AC。

（3）：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。

（4）：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。

（5）：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。

（6）：截取H，G对于O点的对称点H’，G’ ⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。

用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点，此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：）使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确。

手绘法二

椭圆的焦距│FF'│（Z）定义，为已知椭圆所构成的长轴X（ab）与短轴Y（cd）则以长轴一端A为圆心短轴Y为半径画弧，从长轴另一段点B引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距，求证公式为2√{（Z/2）^2+（Y/2）^2}+Z=X+Z（平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a（2a>|FF'|）的动点P的轨迹叫做椭圆），可演变为z=√x^2-y^2（x>y>0）。Z两端点F、F'为定点。取有韧性切伸缩系数越小越好的线，环绕线段AF'或者FB线段任意一组为长度，以该长度为固定三角形周长，以F、F'　为定点、取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆。

手绘法三

环线长

手绘法三

环线长椭圆示意图

。根据椭圆的图形特征，采用环线表示动点与焦点间的距离关系，形成统一的圆形环线作图法。具体方法简介：

（1）作图工具为笔、大头针、直尺和环形线。（环形线制作：取一段长度（30—50cm）和粗细适中弹性小的软线、一段8mm长细电线空塑料管，软线从塑料管中相向窜过，塑料管将软线夹紧，但用力可以抽动，形成能收缩和放长的环形线）。

（2）在作图平面上作出各种圆形的定点和动点。

（3）将大头针分别直立、固定在定点上；

（4）将符合长度的环形线套在大头针外，画笔由内向外拉直环线，通过调整环线的长度使笔尖刚好落在动点上；

（5）将画笔移动一周，即可作出各种圆的图形。

环线作图方法的最大特点，就是把圆形的动点与焦点间的距离关系以环线的方式联系起来，而不受焦点数目的影响，环线内可以容纳任意焦点数目，为探讨3个及其3个以上焦点数目的多焦点圆提供有效方法。环线作图方法，属于连续移动作图法，适合不同大小的圆、椭圆和卵圆等作图。

若用该方法画规定半长轴a和半短轴b的椭圆，则，环线长