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脐点

若曲面上的一点P,其第一、二基本形式成比例,则称P点为曲面的脐点(umbilical point)。若第二基本形式为零,则称为平点,否则称为圆点。在脐点处总曲率K=H。

目录

    1 基本信息 2 基本介绍 3 法曲率与脐点

      基本信息

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      中文名:脐点

      分类:圆点、平点

      所属学科:数学(微分几何学)

      外文名:umbilical point

      相关概念:法曲率,第一、二基本量/形式等

      基本介绍

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      脐点(umbilical point)是曲面上的一类特殊点,它是第一基本形式与第二基本形式成比例的点,若曲面在某一点处的第一、二类基本量适合

      则称该点为曲面的脐点。曲面在脐点处的每一个切方向都是主方向,沿各方向的法曲率都相等,的脐点称为平点不全为零的脐点称为圆点,平面上的点都是平点,球面上的点都是圆点。

      法曲率与脐点

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      法曲率是曲面理论的一个核心概念。

      为曲面上任意曲线,s为弧长。法曲率为

      由于对任何方向,不能同时为零,故不妨在(1)中设,这表明法曲率是方向的函数,一般的说不同方向上的值也不相同。所谓脐点,就是指曲面上这样一种特殊的点,它的任何方向的恒为常数。

      于是对于脐点,(1)式中为常数,且对任何方向都成立,自然对于参数曲线方向亦成立,对线显然有

      同样对v线有

      时,由上述两式可直接得到,再代入(1)式便知。至于时,则将两式代入(1)式有

      总之有

      反之,若(2)式成立,则当时,显然对任何方向均有。若不全为零,不妨设,于是令,则有

      从而

      因对曲面上一定点,为定值,故为常数。于是有:

      定理曲面上一点为脐点的充要条件是

      由上述定理的证明过程可以看到,平点是脐点中的一种。

      我们又称L、M、N不全为零的脐点为圆点。球面上的点皆为圆点,而且可以证明其逆也成立,从而有:一个曲面为球面或球面一部分的充要条件是其上的每一点都是圆点。对于圆点,如上不妨令

      再根据(3)式以及为恒正齐式,即得

      从而可知圆点是椭圆点的特殊情形。

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