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脐点 编辑
若曲面上的一点P,其第一、二基本形式成比例,则称P点为曲面的脐点(umbilical point)。若第二基本形式为零,则称为平点,否则称为圆点。在脐点处总曲率K=H。
目录
- 1 基本信息
2 基本介绍
3 法曲率与脐点
基本信息
编辑中文名:脐点
分类:圆点、平点
所属学科:数学(微分几何学)
外文名:umbilical point
相关概念:法曲率,第一、二基本量/形式等
基本介绍
编辑脐点(umbilical point)是曲面上的一类特殊点,它是第一基本形式与第二基本形式成比例的点,若曲面在某一点处的第一、二类基本量适合
则称该点为曲面的脐点。曲面在脐点处的每一个切方向都是主方向,沿各方向的法曲率都相等,的脐点称为平点,不全为零的脐点称为圆点,平面上的点都是平点,球面上的点都是圆点。
法曲率与脐点
编辑法曲率是曲面理论的一个核心概念。
设
为曲面上任意曲线,s为弧长。法曲率为
由于对任何方向,不能同时为零,故不妨在(1)中设,这表明法曲率是方向的函数,一般的说不同方向上的值也不相同。所谓脐点,就是指曲面上这样一种特殊的点,它的任何方向的恒为常数。
于是对于脐点,(1)式中为常数,且对任何方向都成立,自然对于参数曲线方向亦成立,对线显然有
同样对v线有
当时,由上述两式可直接得到,再代入(1)式便知。至于时,则将两式代入(1)式有
总之有
反之,若(2)式成立,则当时,显然对任何方向均有。若不全为零,不妨设,于是令,则有
从而
因对曲面上一定点,为定值,故为常数。于是有:
定理曲面上一点为脐点的充要条件是
由上述定理的证明过程可以看到,平点是脐点中的一种。
我们又称L、M、N不全为零的脐点为圆点。球面上的点皆为圆点,而且可以证明其逆也成立,从而有:一个曲面为球面或球面一部分的充要条件是其上的每一点都是圆点。对于圆点,如上不妨令
再根据(3)式以及为恒正齐式,即得
从而可知圆点是椭圆点的特殊情形。
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